Una función es continua en el punto z si, para cualquier existe un un tal que:

(Continuidad Uniforme) Se dice que una función F(z) es uniformemente continua en un conjunto G si a cualquier  E le corresponde (delta) un tal que para dos puntos cualesquiera z,w E  G tales que!W-Z! es menor que (delta) tenemos

Si F(z) es continua en un conjunto cerrado y acotado entosces es uniformemente continua.

(Función Holomorfa): Si una función es uniforme y continua, y poseé una derivada definida y continua en cualquier punto, entonces se dice que es holomorfa en el punto 

 

Aplicacion de los nuneros complejos a la ingenieria

 
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que "los reales pertecenen a los numeros complejos" . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

SU REPRESENTACION BINOMICA
Un número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
  

donde (i) es:

 

Cada complejo z es un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re (z),Im (z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

suma

multiplicacion

iguadad

APLICACIÓN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física y notoriamente en la “mecánica cuántica” y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r e^iφ podemos pensar en r como la amplitud y en (φ) como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada.

Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna y por tanto con “comportamiento sinusoidal” como la parte real de una función de variable compleja de la forma:

Donde  (w) representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.